확률 및 통계학 1. 모집단과 표본

모집단과 표본

• 모집단: 연구하고 싶은 집단 전체
  • 실제로 모집단에 대해 통계를 내는 것은 매우 어려움
    • 수가 너무 많기 때문
  • 모수: 모집단에서 수집한 정보
    • 모평균(\(\mu\)): 모수의 평균
    • 모분산(\(\sigma^\prime\)): 모수의 분산
    • 모표준편차(\(\sigma\)): 모수의 표준편차
• 포본: 모집단의 일부
  • 모집단의 일부를 관찰하여 통계를 산출
    • 표본을 바탕으로 모집단을 통계적 추론
  • 통계량: 표본에서 수집한 정보
    • 표본평균(\(\bar{x}\)): 표본의 평균
    • 표본분산(\(s^\prime\)): 표본의 분산
    • 표본표준편차(\(s\)): 표본의 표준편차

자료의 종류와 척도

자료의 종류

• 양적 자료: 수치가 의미 있는 데이터
  • 연속 자료: 수치가 연속적인 데이터
    • 예) 키, 몸무게
  • 이산 자료: 수치가 이산적인 데이터
    • 예) 주사위, 사건의 발생 건수
• 질적 자료: 수치가 의미 없는 데이터
  • 예) 남자: 1, 여자: 2

자료의 척도

• 명목 척도: 범주로 구분
  • 사칙연산 불가
  • 빈도 분석
  • 예) 성별
• 순위 척도: 명목 척도 + 순위
  • 예) 등수
• 구간 척도: 절대 영점이 없음
  • 사칙연산 불가
  • 예) IQ
    • IQ80보다 IQ160이 2배 더 똑똑한 것은 아님
• 비율 척도: 절대 영점 존재
  • 사칙연산 가능
  • 예) 키, 몸무게

자료 시각화

도수분표포

• 계급과 도수로 나타낸 표
  • 계급: 자료의 범위
  • 도수: 계급에 속하는 자료의 수
• 도수분표포 작성 방법
  1. 자료의 범위: \(R = max - min\)
  2. 계급의 수: \(c=\text{round}(3.3(\log_{10}n) + 1)\)​
     • 이 계산법은 추천일 뿐
     • 주로 5개에서 15개 이내로 설정
  3. 계급 구간 설정: \(w=\frac{R}{c}\)​
     • 계급 구간은 주로 5의 배수 또는 2로 설정
     • \(min\)과 \(max\)가 계급의 경계에 겹치지 않도록 설정
     • 급간격: i번째 급상한 - (i-1)번째 급하한
  4. 계급값: \(\frac{하한 + 상한}{2}\)​
     • 계급의 중간값
  5. 도수 계산: \(f\)
     • 상대 도수: \(\frac{f}{n}\)
     • 누적 도수: 위에서부터 누적된 도수

• 예)

  • 자료

    \[\begin{matrix} 71 & 64 & 70 & 78 & 58 & 49 & 79 & 65 & 83 & 69\\ 62 & 47 & 60 & 70 & 66 & 79 & 63 & 60 & 67 & 92\\ 59 & 67 & 66 & 78 & 63 & 62 & 69 & 56 & 66 & 81\\ 68 & 86 & 70 & 66 & 82 & 72 & 73 & 54 & 70 & 71 \end{matrix}\]

  • 작성

    1. \(min = 47\), \(max=92\), \(R=92-47=45\)
    2. $c=\text{round}(3.3(\log_{10}40) + 1)=6$
    3. \(w=\frac{45}{6}=7.5\), 5의 배수로 설정: \(7.5 \rightarrow 10\)

    계급	도수	계급값	상대 도수	누적 도수
    \(40\sim 50\)	2	45	0.05	2
    \(50 \sim 60\)	4	55	0.1	6
    \(60 \sim 70\)	17	65	0.425	23
    \(70 \sim 80\)	12	75	0.3	35
    \(80 \sim 90\)	4	85	0.1	39
    \(90 \sim 100\)	1	95	0.025	40
    total	40		1

그래프

• 막대그래프: 도수, 상대 도수에 따른 막대를 이용
  • 빈도 분석
• 원그래프: 도수, 상대 도수가 차지하는 비율로 원을 나눔
  • 비율 분석
• 히스토그램: 도수분포표에서의 막대그래프
  • 폭 일정
  • 연속형 데이터에 사용
    • 일반 막대그래프로 연속형 데이터를 그리면 값이 너무 많아 복잡하기 때문
• 줄기-잎: 높은 자리와 낮은 자리로 분할 후 표로 표현
  • 정보를 잃지 않고 분포를 쉽게 파악

  • 자료

    \[\begin{matrix} 64 & 84 & 82 & 81 & 68 & 85 & 76 & 89 & 93\\ 77 & 66 & 64 & 86 & 74 & 64 & 70 & 53 \\ 98 & 59 & 79 & 57 & 59 & 65 & 67 & 80 \end{matrix}\]

  • 작성

    \[\begin{array}{c|cccccc} 5 & 3 & 7 & 9 & 9\\ 6 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 7 & 0 & 4 & 6 & 7 & 9\\ 8 & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 & 9\\ 9 & 3 & 8 \end{array}\]